高一志鸿精炼设计数学解答
）13的解答
1．下面对应，非P到M的映射是()
A.P={正整数},M={-1,1},f:x→(-1)^x
B.P={有理数},M={有理数},f:x→x^2
C.P={正整数},M={整数},f:x→
D.P=R,M=R,f:x→y,y^2=|x|
答案:D
解析:因为P中任一非零实数在M中有两个相反数与之对应。
2.下列各组函数中，表示同一函数的是()
A.f(x)=1,g(x)=x^0
B.f(x)=x+2,g(x)=
C.f(x)=|x|,g(x)=
D.f(x)=x,g(x)=
答案:C
解析:判断两函数是否为同一函数，要关注定义域和对应法则两个方面。只有定义域和对应法则完全相同的两个函数才是同一函数。
A.g(x)的定义域为x≠0,f(x)的定义域为R。
B.g(x)的定义域为x≠2,而f(x)的定义域为R。
D.g(x)的定义域为x≥0,f(x)的定义域为R。
3.设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=a,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)等于()
A.0 B.1 C. D.5
答案:C
解析:特例法:取f(x)=x满足题意，故f(5)=5。
直接法:x=-1得f(1)=f(-1)+f(2)即a=-a+f(2)得f(2)=2a。x=1得f(3)=f(1)+f(2)=a+2a=3a。x=3得f(5)=f(3)+f(2)=3a+2a=5a。
4.设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),若f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)等于()
A. B. C.c D.
答案:C
解析:由f(x1)=f(x2)得x1+x2=0，代入表达式得f(x1+x2)=f(0)=c。
5．若f(x)=-x^2+2ax与g(x)=在区间［1,2］上都是减函数，则a的取值范围是()
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(0,1］
C.(0,1)
D.(0,1］
答案:D
解析:g(2)
6．（2006江苏南通模拟）函数y=ln(x+1)(x∈R)的反函数为()
A.y=(-),x∈R
B.y=(-),x∈(0,+∞)
C.y=(+),x∈R
D.y=(+),x∈(0,+∞)
答案:A
解析:由y=ln(x+1)，得x+1=e^y，-x=e^y，2x=-e^y，x=-e^y/2。∴x=。其反函数为y=，x∈R。
7.已知f(x)=-4x^2+4ax-4a-a^2(a<0)在区间［0,1］上有最大值-5，则实数a等于()
A.-1 B.- C. D.-5
答案:D
解析:f(x)=-4x^2+4ax-4a-a^2=-4(x-a/2)^2-4a-a^2，∵a<0<0，∴f(x)在［0,1］上为递减函数。∴f(x)max=f(0)=-4a-a^2。
∴-4a-a^2=-5(a+5)(a-1)=0。又a<0，∴a=-5。
8.设f-1(x)是函数f(x)=log2(x+1)的反函数。若[1+f-1(a)]^2=6[1+f-1(b)]^2=8，则f(a+b)的值为…()
A.1 B.2 C.3 D.log23
答案:B
解析:f-1(x)=2x-1，可知[1+f-1(a)][1+f-1(b)]=2a+b=8，a+b=3，故f(a+b)=log24=2。
9．函数y=lg(x^2+2x+m)的值域为R，则实数m的取值范围是()
A.m>1 B.m≥1 C.m≤1 D.m∈R
答案:C
解析:∵y=lg(x^2+2x+m)的值域为R，∴x^2+2x+m=0有解。∴Δ=22-4m≥0 m≤1。
10.设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1=，λ2=，λ3=，定义f(P)=(λ1,λ2,λ3)，若G是△ABC的重心，f(Q)=(，)，则()
A.点Q在△GAB内 B.点Q在△GBC内
C.点Q在△GCA内 D.点Q与点G重合
答案:A
解析:由于G为△ABC的重心，∴f(G)=(，)。由于f(Q)=(，)，因此，点G一定在过G平行于AC的直线上且在△GAB内，故选A。
第Ⅱ卷（非选择题共70分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11.已知函数y=f(x)满足f(x-1)=x^2-2x+3(x≤0)，则f-1(x+1)=.
答案:-(x≥4)
解析:∵f(x-1)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2，f(x)=x^2+2，又x≤0，∴x-1≤-1。∴f(x)=x^2+2(x≤-1)。∴f-1(x)=-(x≥3)，f-1(x+1)=-(x≥4)。
12.g(x)=1-2x,f[g(x)]=(x≠0)，则f()=.
答案:15
解析:g(x)=1-2x=，x=，f()==15。
13.定义在R上的函数f(x)满足关系式:f(x+1)+f(-x)=2，则f()，f()，…，f()的值为.
答案:7
解析:分别令x=0，…，，
由f(x+1)+f(-x)=2，
得f()+f()=2，f()+f()=2，f()+f()=2，f()+f()=2，
∴f()+f()+…+f()=7。
14．已知x1是方程x+lgx=27的解，x2是方程x+10x=27的解，则x1+x2的值是.
答案:27
解析:方程x+lgx=27可化为lgx=27-x，方程x+10x=27可化为10x=27-x。
令f(x)=lgx，g(x)=10x，h(x)=27-x。如下图。
显然，x1是y=f(x)与y=h(x)的交点P的横坐标，x2是y=g(x)与y=h(x)的交点Q的横坐标。
由于y=f(x)与y=g(x)的图象关于y=x对称，直线y=27-x也关于y=x对称，且直线y=27-x与它们都只有一个交点，故这两个交点关于y=x对称。
又P、Q的中点是y=x与y=27-x的交点，即(,),∴x1+x2=27。
